Кинематическое исследование рычажного механизма аналитическим методом (метод проекций векторных контуров)

Тема : Кинематическое исследование рычажного механизма 
аналитическим методом (метод проекций векторных контуров)

При кинематическом исследовании механизма методом проекций векторных контуров схема механизма заменяется эквивалентной смстемой векторов, которые определяют положение звеньев и точек механизма относительно базовой системой координат xAy. При решении задачи из этой системы выделяют простые векторные контуры, содержащие не более двух неизвестных, и рассматривают эти контуры в проекциях на оси координат. Далее, в зависимости от поставленной задачи, определяются геометрические (передаточные функции) или кинематические (скорости и ускорения) параметры механизма. В первом случае дифференцирование уравнений проекций векторных контуров проводится по обобщенной координате, во втором - по времени. Рассмотрим пример кинематического анализа шестизвенного рычажного механизма (рис.3.1) методом проекций векторных контуров.

 Эквивалентная система векторных контуров для этого механизма изображена на рис.3.2

Векторный контур, определяющий положение точки B.


Положение точки B относительно начала ситемы координат можно описать следующим векторным уравнением :


Проекции этого контура на оси координат :
xB = lAB * cos(j1)
yB = lAB * sin(j1)

Первая и вторая производная от этих уравнений по времени :
vBx = - lAB * w1 * sin(j1)
vBy = lAB * w1 * cos(j1)

aBx = - lAB * e1 * sin(j1) - lAB * w12 * cos(j1)
aBy = lAB * e1 * cos(j1) - lAB * w12 * sin(j1)
 

Скорость и ускорение точки B :


Векторный контур, определяющий положение точки C.

Положение точки C относительно начала ситемы координат можно описать следующим векторным уравнением :


Проекции этого контура на оси координат :
xC = lAB * cos(j1) + lBC * cos(j2) = xD + lDC * cos(j3)
yC = lAB * sin(j1) + lBC * sin(j2) = yD + lDC * sin(j 3)

Из этой системы уравнений определяем угловые координаты звеньев   j2   и   j3 
Первая производная от этих координат по времени :

vCx = - lAB * w1 * sin(j1) - lBC * w2 * sin(j2) = - lDC * w3 * sin(j3)
vCy = lAB * w1 * cos(j1) + lBC * w2 * cos(j2) = lDC * w3 * cos(j3)

Из этой системы уравнений определяем угловые скорости звеньев   w2   и   w3 
Координаты точки C найдем из системы уравнений :
xC = xD + lDC * cos(j 3)
yC = yD + lDC * sin(j3)

Линейную скорость точки C найдем найдем из системы уравнений :
vCx = = - lDC * w3 * sin(j3)
vCy = lDC * w3 * cos(j3)



Вторая производная для проекций рассматриваемого векторного контура :


aCx = aBx - lBC * e 2 * sin(j2) - lBC * w22 * cos(j2) = - lDC * e3 * sin(j3) - lDC * w32 * cos(j3)
aCy = aBy + lBC * e 2 * cos(j2) - lBC * w22 * cos(j2) = lDC * e3 * cos(j3) - lDC * w32 * sin(j3)
 

Из этой системы уравнений определяем угловые ускорения звеньев   e2   и   e3, а также линейное ускорение точки C :


Векторный контур, определяющий положение точки S3.

Положение точки S3 относительно начала ситемы координат можно описать следующим векторным уравнением :


Проекции этого контура на оси координат :
xS3 = xD + lDS3 * cos(j3)
yS3 = yD + lDS3 * sin(j3)

Первая и вторая производная от этих уравнений по времени :
vS3x = - lDS3 * w3 * sin(j3)
vS3y = lDS3 * w3 * cos(j3)

aS3x = - lDS3 * e3 * sin(j3) - lDS3 * w32 * cos(j3)
aS3y = lDS3 * e3 * cos(j3) - lDS3 * w32 * sin(j3)

Скорость и ускорение точки S3 :


Векторный контур, определяющий положение точки S2.

Положение точки S2 относительно начала ситемы координат можно описать следующим векторным уравнением :


Проекции этого контура на оси координат :
xS2 = lAB * cos(j1) + lBS2 * cos(j2)
yS2 = lAB * sin(j1) lBS2 * sin(j2)

Первая и вторая производная от этих уравнений по времени :
vS2x = - lAB * w1 * sin(j1) - lBS2 * w2 * sin(j2)
vS2y = lAB * w1 * cos(j1) + lBS2 * w2 * cos(j2)

aS2x = - lAB * e1 * sin(j1) - lAB * w12 * cos(j1) - lBS2 * e2 * sin(j2) - lBS2 * w22 * cos(j2)
aS2y = lAB * e1 * cos(j1) - lAB * w12 * sin(j1) + lBS2 * e2 * cos(j2) - lBS2 * w22 * sin(j2)

Скорость и ускорение точки S2 :


Векторный контур, определяющий положение точки E.

Положение точки E относительно начала ситемы координат можно описать следующим векторным уравнением :


Проекции этого контура на оси координат :
xE = xD + lDE * cos(j3)
yE = yD + lDE * sin(j3)

Первая и вторая производная от этих уравнений по времени :
vEx = vDE * cos(j3) - lDE * w3 * sin(j3) = v E
vEy = vDE * sin(j3) + lDE * w3 * cos(j3) = 0

aEx = aDE * cos(j3) - 2 * vDE * w3 * sin(j3) - lDE * e3 * sin(j3) - lDE * w32 * cos(j3) = aE
aEy = aDE * sin(j3) + 2 * vDE * w3 * cos(j3) + lDE * e3 * cos(j3) - lDE * w32 * sin(j3) = 0

Скорость и ускорение точки E :


Итак, с помощью метода проекции векторных контуров, мы определили угловые скорости и ускорения звеньев , а также линейные скорости заданных точек механизма, изображенного на рис.3.1.

Использован материал с сайта: http://tmm-umk.bmstu.ru/seminar/sem3.htm